Nature d'un triangle (2) - Corrigé

Énoncé

Soit \(\text A ,\text B\) et \(\text C\) les points d'affixes respectives \(z_\text A=-1-i\sqrt{3} , z_\text B=-1+i\sqrt{3}\) et \(z_\text C=2\) . Déterminer la nature du triangle \(\text A\text B\text C\) .

Solution

On a
\(\begin{align*}\frac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}& =\frac{2-(-1-i\sqrt{3})}{-1+i\sqrt{3}-(-1-i\sqrt{3})}\\& =\frac{2+1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}+1+i\sqrt{3}}\\& =\frac{3+i\sqrt{3}}{2i\sqrt{3}}\\& =\frac{3+i\sqrt{3}}{2i\sqrt{3}} \times \frac{-2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}}\\& = \frac{-6i\sqrt{3}+6}{12}\\& = \frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt{3}}{2}\\& = \text e^{-\frac{i\pi}{3}}\end{align*}\)
donc le triangle \(\text A\text B\text C\) est équilatéral.